Code Cramer Để Seo | Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình Cramer Là Gì?

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + 2{x_2} + 3{x_3} = 9\\ – 2{x_1} + {x_2} – 5{x_3} = – 24\\ 3{x_1} – 2{x_2} + {x_3} = 11 \end{array} \right.$ bằng các phương pháp Gauss (khử ẩn liên tiếp); quy tắc Cramer; phương pháp ma trận.

Xét $\overline A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&9 \\ { – 2}&1&{ – 5}&{ – 24} \\ 3&{ – 2}&1&{11} \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{ – 3}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&9 \\ 0&5&1&{ – 6} \\ 0&{ – 8}&{ – 8}&{ – 16} \end{array}} \right)\xrightarrow{{{\mathbf{8}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + 5}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&9 \\ 0&5&1&{ – 6} \\ 0&0&{ – 32}&{ – 128} \end{array}} \right).$

Vậy $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + 2{x_2} + 3{x_3} = 9 \hfill \\ 5{x_2} + {x_3} = – 6 \hfill \\ – 32{x_3} = – 128 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_1} = 1 \hfill \\ {x_2} = – 2 \hfill \\ {x_3} = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Nghiệm của hệ là \[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}} \end{array}} \right) = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ { – 2}&1&{ – 5}\\ 3&{ – 2}&1 \end{array}} \right)^{ – 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9\\ { – 24}\\ {11} \end{array}} \right) = \dfrac{1}{{32}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9&8&{13}\\ {13}&8&1\\ { – 1}&{ – 8}&{ – 5} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9\\ { – 24}\\ {11} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { – 2}\\ 4 \end{array}} \right).\]

${x_1} = \frac{{{d_1}}}{d} = \dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 9&2&3\\ { – 24}&1&{ – 5}\\ {11}&{ – 2}&1 \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ { – 2}&1&{ – 5}\\ 3&{ – 2}&1 \end{array}} \right|}} = 1;{x_2} = \dfrac{{{d_2}}}{d} = \dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&9&3\\ { – 2}&{ – 24}&{ – 5}\\ 3&{11}&1 \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ { – 2}&1&{ – 5}\\ 3&{ – 2}&1 \end{array}} \right|}} = – 2;{x_3} = \dfrac{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&9\\ { – 2}&1&{ – 24}\\ 3&{ – 2}&{11} \end{array}} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ { – 2}&1&{ – 5}\\ 3&{ – 2}&1 \end{array}} \right|}} = 4.$

Hiện tại Vted.vn xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả các trường:

Quý thầy, cô hoặc bạn đọc muốn đóng góp tài liệu cho VTED.vn, vui lòng gửi về:

Quy tắc Cramer

Trong đại số tuyến tính, quy tắc Cramer là một công thức tường minh cho nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính với số ẩn bằng số phương trình, chỉ áp dụng khi hệ có nghiệm duy nhất. Nó biểu diễn nghiệm của hệ theo các định thức của ma trận hệ số (vuông) và của các ma trận được tạo ra từ nó bằng cách thay một cột của ma trận hệ số bởi vectơ cột gồm các giá trị ở vế trái của các phương trình. Nó được đặt tên theo Gabriel Cramer (1704–1752), người đã xuất bản quy tắc cho số ẩn bất kỳ năm 1750,[1][2] mặc dù Colin Maclaurin cũng đã xuất bản một vài trường hợp đặc biệt của quy tắc vào năm 1748[3] (và có thể đã biết về nó sớm nhất năm 1729).[4][5][6] Quy tắc Cramer thường được sử dụng trong các bài toán biện luận nghiệm của hệ phương trình nhưng ít khi được sử dụng trong tính toán bằng số.

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Một chứng minh ngắn[sửa | sửa mã nguồn]

Một chứng minh ngắn gọn cho quy tắc Cramer[7] có thể được đưa ra như sau: chú ý rằng chính là định thức của ma trận sau

Mặt khác, giả thiết rằng ma trận ban đầu A là khả nghịch, ma trận này có các cột , trong đó là cột thứ n của ma trận A. Nhớ lại rằng ma trận có các cột là , suy ra . Vì thế, sử dụng kết quả rằng định thức của tích hai ma trận bằng tích các định thức, ta có

Chứng minh tương tự đối với các ẩn khác.

Diễn giải hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Quy tắc Cramer có một cách diễn giải hình học mà có thể được xem là một chứng minh trực quan hay đơn giản chỉ là đưa ra một cái nhìn sâu sắc về bản chất hình học của nó. Những lập luận hình học được đưa ra dưới đây là có hiệu lực trong tổng quát và không chỉ đúng trong trường hợp hệ hai phương trình hai ẩn được trình bày dưới đây.

Cho hệ phương trình tuyến tính

Có thể coi nó là một phương trình giữa các vectơ

Diện tích hình bình hành tô đậm thứ nhất trong hình, xác định bởi hai vectơ và được cho bởi định thức của hệ phương trình:

Nói chung, khi có nhiều hơn số biến và số phương trình, định thức của hệ n vectơ với n thành phần sẽ cho thể tích của hình hộp lục diện xác định bởi n vectơ đó trong không gian Euclid n chiều.

Vì thế, diện tích của hình bình hành thứ hai, xác định bởi hai vectơ và , phải bằng lần với diện tích của hình bình hành thứ nhất, vì một cạnh của nó đã được nhân lên với hệ số này. Cuối cùng, diện tích hình bình hành này, bởi nguyên lý Cavalieri, nó phải có diện tích bằng diện tích hình bình hành thứ ba được xác định bởi các vectơ

và

Diện tích của các hình bình hành thứ hai và thứ ba là bằng nhau, lập phương trình và thay vào các định thức tương ứng với các diện tích, ta có phương trình sau

từ đây quy tắc Cramer với được suy ra, làm tương tự với , ta có điều phải chứng minh.

Hệ phương trình đại số tuyến tính

Hệ phương trình đại số tuyến tính là hệ phương trình có dạng:

Bộ giá trị x , tại đó các phương trình của hệ thống biến thành đồng nhất, được gọi là nghiệm của hệ thống, Một Và b là các hệ số thực. Một hệ thống đơn giản gồm hai phương trình với hai ẩn số có thể được giải bằng cách tính nhẩm hoặc bằng cách biểu diễn một biến dưới dạng biến kia. Nhưng có thể có nhiều hơn hai biến (x) trong SLAE và các thao tác trường học đơn giản là không thể thiếu ở đây. Để làm gì? Ví dụ, giải SLAE bằng phương pháp của Cramer!

Vì vậy, hãy để hệ thống n phương trình với n không xác định.

Một hệ thống như vậy có thể được viết lại dưới dạng ma trận

Đây MỘT là ma trận chính của hệ thống, X Và B , tương ứng, ma trận cột của các biến chưa biết và các thành viên tự do.

Nếu phương trình vô nghiệm hoặc vô số nghiệm, quy tắc Cramer sẽ cho kết quả như thế nào?

Nếu phương trình vô nghiệm hoặc vô số nghiệm, quy tắc Cramer sẽ cho kết quả bằng cách trả về các giá trị đặc biệt. – Trong trường hợp phương trình vô nghiệm, quy tắc Cramer sẽ không có giá trị nghiệm cho hệ phương trình. Dưới dạng kết quả, ta có thể sử dụng thông báo \”Hệ phương trình không có nghiệm\”.- Trong trường hợp phương trình có vô số nghiệm, quy tắc Cramer sẽ cho kết quả bằng cách chỉ ra các giá trị nghiệm tồn tại. Ở dạng kết quả, ta có thể sử dụng thông báo \”Hệ phương trình có vô số nghiệm\” hoặc liệt kê các giải pháp của nghiệm.Lưu ý rằng quy tắc Cramer chỉ áp dụng cho hệ phương trình vuông có số phương trình bằng số ẩn, vì đó là điều kiện cần để tính định thức chính khác 0.

Điều kiện để hệ phương trình trở thành hệ phương trình Cramer?

Để hệ phương trình trở thành hệ phương trình Cramer, cần thỏa mãn một số điều kiện sau đây:1. Hệ phương trình phải là hệ phương trình vuông, tức là số phương trình bằng số ẩn.2. Hệ phương trình không được trùng lặp phương trình, nghĩa là không có hai phương trình giống nhau hoặc một phương trình là tổng tuyến tính của các phương trình khác trong hệ.3. Định thức của ma trận hệ số, gọi là định thức chính (hay định thức Cramer), phải khác không.- Nếu định thức chính khác không, hệ phương trình có một nghiệm duy nhất.- Nếu định thức chính bằng không, hệ phương trình có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm.Tóm lại, để hệ phương trình trở thành hệ phương trình Cramer, cần kiểm tra các điều kiện trên, đảm bảo hệ phương trình là vuông, không trùng lặp phương trình và định thức chính khác không.

Có phương pháp nào khác để giải hệ phương trình tuyến tính thay thế phương pháp Cramer không?

Có các phương pháp khác để giải hệ phương trình tuyến tính thay thế phương pháp Cramer, như sau:1. Sử dụng phương pháp đại số ma trận: Đây là một phương pháp phổ biến và hiệu quả để giải các hệ phương trình tuyến tính. Đầu tiên, ta biểu diễn hệ phương trình dưới dạng Ax = b, trong đó A là ma trận hệ số, x là vector chứa các ẩn và b là vector chứa các giá trị đã biết. Tiếp theo, ta tính định thức của ma trận A, nếu định thức khác không, ta sẽ tìm nghiệm của hệ phương trình bằng cách tìm nghịch đảo của ma trận A và nhân nó với vector b. Nếu định thức bằng không, hệ phương trình có thể có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm duy nhất.2. Sử dụng phương pháp khử Gauss-Jordan: Đây là một phương pháp khử Gauss mở rộng để tìm nghiệm của hệ phương trình. Phương pháp này bao gồm các bước như sau: (a) biểu diễn hệ phương trình dưới dạng ma trận mở rộng, (b) áp dụng các phép biến đổi hàng để giảm các phần tử không mong muốn trong ma trận, (c) chuyển ma trận thành ma trận bậc thang, (d) áp dụng các phép biến đổi hàng khác để đạt được ma trận bậc thang rút gọn, và (e) tìm các nghiệm bằng cách quay lại hệ phương trình gốc.3. Sử dụng phương pháp đặc trưng: Phương pháp này dựa trên việc tìm các giá trị riêng và vector riêng của ma trận hệ số. Đầu tiên, ta tính toán giá trị riêng bằng cách giải phương trình đặc trưng. Sau đó, ta tìm vector riêng tương ứng với các giá trị riêng đã tìm được. Cuối cùng, ta sử dụng các giá trị riêng và vector riêng này để xây dựng nghiệm của hệ phương trình.Dù có các phương pháp khác nhau để giải hệ phương trình tuyến tính, phương pháp Cramer vẫn là một lựa chọn phổ biến và dễ hiểu. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, các phương pháp khác có thể được sử dụng để tìm ra nghiệm hiệu quả hơn.

XEM THÊM:

Tại sao phương pháp Cramer chỉ áp dụng cho hệ phương trình có số phương trình bằng số ẩn?

Phương pháp Cramer, được sử dụng để giải hệ phương trình tuyến tính, chỉ áp dụng cho các hệ phương trình có số phương trình bằng số ẩn vì nó phụ thuộc vào tính chất của định thức.Để hiểu tại sao phương pháp Cramer chỉ áp dụng cho hệ phương trình có số phương trình bằng số ẩn, chúng ta cần tìm hiểu về định thức và cách nó được tính trong phương pháp Cramer.Định thức là một số thực được gán cho mỗi ma trận vuông. Đặc biệt, định thức của một ma trận vuông kích thước n là một số thực được tính dựa trên các phần tử của ma trận theo một quy tắc nhất định. Trong trường hợp của phương pháp Cramer, chúng ta sẽ sử dụng định thức để giải hệ phương trình.Khi áp dụng phương pháp Cramer để giải hệ phương trình, chúng ta sẽ tính toán các định thức liên quan đến các hệ số của các phương trình và các định thức này sẽ xác định nghiệm của hệ phương trình. Nếu số lượng phương trình nhiều hơn số lượng ẩn, chúng ta sẽ không thể tính được định thức cần thiết để giải hệ phương trình theo phương pháp Cramer.Vì vậy, phương pháp Cramer chỉ áp dụng cho các hệ phương trình có số phương trình bằng số ẩn. Khi số phương trình nhiều hơn số ẩn, các định thức sẽ không thể được tính toán theo quy tắc Cramer. Trong trường hợp này, chúng ta cần sử dụng các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính khác như phương pháp Gauss hay ma trận nghịch đảo.Tóm lại, phương pháp Cramer là một phương pháp đơn giản và dễ hiểu để giải hệ phương trình tuyến tính, nhưng chỉ áp dụng được cho các hệ phương trình có số phương trình bằng số ẩn. Khi số phương trình nhiều hơn số ẩn, chúng ta cần sử dụng các phương pháp giải khác để tìm nghiệm.

_HOOK_

Quá trình giải hệ phương trình bằng quy tắc Cramer gồm những bước nào?

Quá trình giải hệ phương trình bằng quy tắc Cramer bao gồm các bước sau:1. Cho trước hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trình với n ẩn:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ = b₂…aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ = bₙ2. Xác định ma trận hệ số A của hệ phương trình:A = [aᵢⱼ], với i = 1, 2, …, n và j = 1, 2, …, n3. Tính định thức của ma trận hệ số A:Δ = |A|4. Với mỗi ẩn xᵢ (i = 1, 2, …, n), tiến hành thay thế cột thứ i của ma trận hệ số A bằng cột b của phương trình:Aᵢ = [a₁₁, a₁₂, …, aᵢ-₁, b, aᵢ+₁, …, aₙ]5. Tính định thức của mỗi ma trận Aᵢ để tìm giá trị của từng ẩn xᵢ:Δᵢ = |Aᵢ|xᵢ = Δᵢ / Δ6. Với mỗi xᵢ, ta thu được giá trị của các ẩn trong hệ phương trình.Lưu ý rằng phương pháp Cramer chỉ áp dụng được cho các hệ phương trình có thể giải được và số phương trình bằng số ẩn.

XEM THÊM:

Trường hợp tổng quát[sửa | sửa mã nguồn]

Xét hệ n phương trình tuyến tính với n ẩn,

còn có thể được biểu diễn dưới dạng phép nhân ma trận như sau:

trong đó ma trận A cỡ n × n là ma trận hệ số, và vectơ là vectơ cột gồm các biến (ẩn số), vectơ cột gồm các giá trị ở vế trái.

Giả thiết rằng ma trận A có định thức khác 0.

Định lý khẳng định rằng trong trường hợp này hệ có nghiệm duy nhất, các giá trị của từng biến một của nghiệm được cho bởi:

trong đó là ma trận được tạo ra bằng thay cách thay cột thứ i của ma trận A bởi vectơ cột b.

Giải pháp của hệ thống sử dụng ma trận nghịch đảo

Phương pháp ma trận nghịch đảo về cơ bản là một trường hợp đặc biệt phương trình ma trận(Xem Ví dụ số 3 của bài đã chỉ định).

Để học phần này, bạn cần có khả năng mở rộng các định thức, tìm ma trận nghịch đảo và thực hiện phép nhân ma trận. Các liên kết có liên quan sẽ được đưa ra khi quá trình giải thích diễn ra.

Ví dụ 11

Giải hệ thống bằng phương pháp ma trận

Giải pháp: Ta viết hệ thống dưới dạng ma trận: , ở đâu

Hãy nhìn vào hệ phương trình và ma trận. Việc chúng ta viết các phần tử thành ma trận theo nguyên tắc nào thì tôi nghĩ mọi người đều hiểu. Nhận xét duy nhất: nếu một số biến bị thiếu trong phương trình, thì các số không sẽ phải được đưa vào vị trí tương ứng trong ma trận.

Chúng ta tìm ma trận nghịch đảo theo công thức: , đâu là ma trận chuyển vị của các phần bù đại số của các phần tử tương ứng của ma trận.

Đầu tiên, hãy đối phó với yếu tố quyết định:

Ở đây định thức được mở rộng bởi dòng đầu tiên.

Chú ý! Nếu thì ma trận nghịch đảo không tồn tại và không thể giải hệ bằng phương pháp ma trận. Trong trường hợp này, hệ thống được giải bằng cách loại bỏ ẩn số (phương pháp Gauss).

Bây giờ bạn cần tính toán 9 trẻ vị thành niên và viết chúng vào ma trận các trẻ vị thành niên

Thẩm quyền giải quyết: Sẽ rất hữu ích nếu biết ý nghĩa của các chỉ số con kép trong đại số tuyến tính. Chữ số đầu tiên là số dòng mà phần tử nằm trong đó. Chữ số thứ hai là số cột mà phần tử nằm trong đó: Nghĩa là, một chỉ số con kép cho biết rằng phần tử nằm ở hàng đầu tiên, cột thứ ba, trong khi, ví dụ, phần tử nằm ở hàng thứ 3, cột thứ 2

2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp ma trận (sử dụng ma trận nghịch đảo).

3. Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình.

Phương pháp của Cramer.

Phương pháp của Cramer được sử dụng để giải các hệ phương trình đại số tuyến tính ( SLAU).

Công thức trên ví dụ về một hệ hai phương trình với hai biến. Được cho: Giải quyết hệ thống bằng phương pháp của Cramer

Các biến liên quan X Và tại.Giải pháp:Tìm định thức của ma trận, gồm các hệ số của hệ Tính định thức. :

Hãy áp dụng các công thức của Cramer và tìm giá trị của các biến:Và . Ví dụ 1:Giải hệ phương trình:liên quan đến các biến X Và tại.Giải pháp:Hãy thay thế cột đầu tiên trong định thức này bằng một cột hệ số ở phía bên phải của hệ thống và tìm giá trị của nó:

Hãy thực hiện một hành động tương tự, thay thế cột thứ hai trong yếu tố quyết định đầu tiên: Áp dụng Công thức của Cramer và tìm giá trị của các biến:Và .Trả lời:Nhận xét: Phương pháp này có thể được sử dụng để giải các hệ thống có kích thước cao hơn.

Nhận xét: Nếu nó thành ra như vậy và không thể chia hết cho 0, thì họ nói rằng hệ thống không có một nghiệm duy nhất. Trong trường hợp này, hệ thống có vô số giải pháp hoặc không có giải pháp nào cả.

Ví dụ 2(vô số giải pháp):

Giải hệ phương trình: liên quan đến các biến X Và tại.Giải pháp:Tìm định thức của ma trận, bao gồm các hệ số của hệ thống:Giải hệ bằng phương pháp thay thế.Phương trình đầu tiên của hệ là một đẳng thức đúng với bất kỳ giá trị nào của các biến (vì 4 luôn bằng 4). Vì vậy, chỉ còn một phương trình. Đây là một phương trình quan hệ giữa các biến.Chúng tôi nhận thấy rằng giải pháp của hệ thống là bất kỳ cặp giá trị nào của các biến có liên quan với nhau bằng đẳng thức.Giải pháp chung được viết như thế này:Các nghiệm cụ thể có thể được xác định bằng cách chọn một giá trị tùy ý của y và tính x từ phương trình quan hệ này.Vân vân.Có vô số giải pháp như vậy.Trả lời: quyết định chungGiải pháp tư nhân:

Ví dụ 3(không có giải pháp, hệ thống không nhất quán):

Giải hệ phương trình: Giải pháp:Tìm định thức của ma trận, bao gồm các hệ số của hệ thống:Bạn không thể sử dụng công thức của Cramer. Hãy giải hệ thống này bằng phương pháp thay thế

Phương trình thứ hai của hệ thống là một đẳng thức không hợp lệ với bất kỳ giá trị nào của các biến (tất nhiên, vì -15 không bằng 2). Nếu một trong các phương trình của hệ không đúng với bất kỳ giá trị nào của các biến thì toàn bộ hệ không có nghiệm. Trả lời: không có giải pháp

Phương pháp của Cramer dựa trên việc sử dụng các định thức trong việc giải các hệ phương trình tuyến tính. Điều này tăng tốc đáng kể quá trình giải pháp.

Phương pháp của Cramer có thể được sử dụng để giải một hệ thống gồm nhiều phương trình tuyến tính mà trong mỗi phương trình có ẩn số. Nếu định thức của hệ không bằng 0, thì phương pháp của Cramer có thể được sử dụng trong giải pháp; nếu nó bằng 0 thì không thể. Ngoài ra, phương pháp Cramer có thể được sử dụng để giải các hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất.

Sự định nghĩa. Định thức, bao gồm các hệ số của ẩn số, được gọi là định thức của hệ và được ký hiệu là (delta).

Các yếu tố quyết định

thu được bằng cách thay thế các hệ số tại các ẩn số tương ứng bằng các số hạng tự do:

Định lý Cramer. Nếu định thức của hệ khác không thì hệ phương trình tuyến tính có một nghiệm duy nhất và ẩn số bằng tỉ số của định thức. Mẫu số là định thức của hệ, và tử số là định thức thu được từ định thức của hệ bằng cách thay thế các hệ số với ẩn số bằng các số hạng tự do. Định lý này phù hợp với một hệ phương trình tuyến tính có bậc bất kỳ.

ví dụ 1 Giải hệ phương trình tuyến tính:

Dựa theo Định lý Cramer chúng ta có:

Vì vậy, giải pháp của hệ thống (2):

máy tính trực tuyến, phương pháp giải của Cramer.

Chúng ta cùng nhau tiếp tục giải quyết các hệ thống bằng phương pháp Cramer

Như đã đề cập, nếu định thức của hệ bằng 0 và định thức của ẩn số không bằng 0 thì hệ không nhất quán, tức là nó không có nghiệm. Hãy minh họa bằng ví dụ sau.

Ví dụ 6 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer:

Giải pháp. Chúng tôi tìm thấy yếu tố quyết định của hệ thống:

Định thức của hệ bằng không, do đó, hệ phương trình tuyến tính không nhất quán và xác định, hoặc không nhất quán, tức là nó không có nghiệm. Để làm rõ, chúng tôi tính toán các yếu tố quyết định cho các ẩn số

Các định thức cho ẩn số không bằng 0, do đó, hệ thống không nhất quán, tức là nó không có nghiệm.

Để kiểm tra nghiệm của hệ phương trình 3 X 3 và 4 X 4, bạn có thể sử dụng máy tính trực tuyến, phương pháp giải Cramer.

Trong các bài toán về hệ phương trình tuyến tính, cũng có những bài toán mà ngoài các chữ cái biểu thị biến số còn có các chữ cái khác. Những chữ cái này là viết tắt của một số, thường là một số thực. Trong thực tế, các phương trình và hệ phương trình như vậy dẫn đến các bài toán tìm các tính chất chung của bất kỳ hiện tượng và sự vật nào. Đó là, bạn đã phát minh ra một số vật liệu hoặc thiết bị mới, và để mô tả các thuộc tính của nó, những đặc tính phổ biến bất kể kích thước hay số lượng bản sao, bạn cần giải một hệ phương trình tuyến tính, trong đó thay vì một số hệ số cho các biến có các chữ cái. Bạn không cần phải tìm kiếm các ví dụ xa.

Ví dụ tiếp theo là cho một bài toán tương tự, chỉ có số phương trình, biến số và chữ cái biểu thị một số thực tăng lên.

Ví dụ 8 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer:

Giải pháp. Chúng tôi tìm thấy yếu tố quyết định của hệ thống:

Tìm định thức cho ẩn số

Phương pháp Kramer Và Gaussian một trong những giải pháp phổ biến nhất SLAU. Ngoài ra, trong một số trường hợp, nó được khuyến khích sử dụng các phương pháp cụ thể. Phiên đã kết thúc và bây giờ là lúc để lặp lại hoặc làm chủ chúng từ đầu. Hôm nay chúng ta giải quyết bằng phương pháp Cramer. Xét cho cùng, giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp của Cramer là một kỹ năng rất hữu ích.

Phương pháp Cramer là gì và được sử dụng trong việc giải hệ phương trình tuyến tính như thế nào?

Phương pháp Cramer là một phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính có cấu trúc đơn giản và dễ hiểu. Phương pháp này được áp dụng khi có một hệ phương trình tuyến tính với số ẩn bằng số phương trình và phương trình không phụ thuộc lẫn nhau.Để sử dụng phương pháp Cramer giải hệ phương trình tuyến tính, ta cần làm theo các bước sau:Bước 1: Xây dựng ma trận hệ số (A) và ma trận kết quả (B) của hệ phương trình. Ma trận hệ số A có kích thước mxn, với m là số phương trình và n là số ẩn. Ma trận kết quả B có kích thước mx1.Bước 2: Tính định thức của ma trận hệ số (det(A)). Nếu định thức này bằng 0, nghĩa là hệ phương trình không có nghiệm duy nhất và không thể áp dụng phương pháp Cramer để giải.Bước 3: Tính định thức của các ma trận con (det(Ai)), với i từ 1 đến n, trong đó ma trận con Ai được tạo ra bằng cách thay cột thứ i của ma trận hệ số A bởi ma trận kết quả B.Bước 4: Tính giá trị của các ẩn (xi), với i từ 1 đến n, bằng cách chia định thức của ma trận con Ai cho định thức của ma trận hệ số (xi = det(Ai) / det(A)). Như vậy, ta sẽ thu được các nghiệm cho hệ phương trình.Lưu ý: Phương pháp Cramer chỉ áp dụng được cho các hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn và các phương trình không phụ thuộc lẫn nhau. Nếu hệ phương trình không thoả mãn điều kiện này, phương pháp Cramer không sẽ không áp dụng được và cần sử dụng các phương pháp giải khác.

XEM THÊM:

Ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Biện luận tường minh hệ phương trình cỡ nhỏ[sửa | sửa mã nguồn]

Xét hệ phương trình tuyến tính

dưới dạng ma trận nó là

Giả sử a1b2 − b1a2 khác 0. Khi đó, nhờ các định thức, các ẩn x và y có thể tìm được tường minh bằng quy tắc Cramer như sau:

Quy tắc đối với ma trận 3 × 3 cũng tương tự. Cho hệ

có biểu diễn dưới dạng ma trận

Khi đó biểu thức các giá trị x, y và z có thể tìm được như sau:

Tìm ma trận nghịch đảo[sửa | sửa mã nguồn]

Cho A là một ma trận vuông n × n với các phần tử thuộc một trường F. Khi đó:

trong đó adj(A) ký hiệu cho ma trận phụ hợp, det(A) là định thức, và I là ma trận đơn vị. Nếu det(A) khác 0 (khả nghịch) thì ma trận nghịch đảo của A là

Điều này cho ta một công thức để tính nghịch đảo của A, nếu det(A) ≠ 0. Thật vậy, công thức này đúng khi F là một vành giao hoán, giả thiết det(A) là một đơn vị. Nếu det(A) không là đơn vị thì A không khả nghịch trên vành đó (nó có thể khả nghịch trên một vành lớn hơn trong đó một số phần tử khác đơn vị của F có thể khả nghịch).

Nguyên tắc cơ bản của phương pháp giải hệ phương trình Cramer?

Trong phương pháp Cramer, chúng ta sẽ giải quyết một hệ phương trình tuyến tính với số phương trình bằng số ẩn. Nguyên tắc cơ bản của phương pháp này như sau:Bước 1: Kiểm tra hệ phương trình có thỏa mãn điều kiện hệ Cramer hay không. Điều kiện để hệ phương trình có thể được giải bằng phương pháp Cramer là định thức của ma trận hệ số khác không. Nếu định thức khác không, tiếp tục với các bước tiếp theo. Ngược lại, hệ phương trình không thể được giải bằng phương pháp Cramer.Bước 2: Tính định thức của ma trận hệ số. Định thức này được tính bằng cách sắp xếp các hàng của ma trận hệ số, mỗi hàng nằm trên một đường chéo của ma trận và lấy tổng các tích các phần tử trên đường chéo chính trừ tổng các tích các phần tử trên đường chéo phụ.Bước 3: Tìm nghiệm cho từng ẩn. Để tìm nghiệm của mỗi ẩn, ta sẽ thay thế ma trận hệ số của biến đó bằng ma trận cột kết quả và tính định thức của ma trận mới này. Sau đó, nghiệm của biến đó được tính bằng tỷ lệ giữa định thức ma trận này và định thức ma trận hệ số.Bước 4: Xác minh nghiệm. Sau khi tìm được nghiệm cho các ẩn, ta cần kiểm tra lại nghiệm bằng cách thay thế các nghiệm này vào hệ phương trình ban đầu và kiểm tra xem phương trình có thỏa mãn hay không.Đó là nguyên tắc cơ bản của phương pháp giải hệ phương trình Cramer. Việc áp dụng phương pháp này nhằm giúp ta tìm ra nghiệm của hệ phương trình tuyến tính một cách tương đối dễ dàng và hiệu quả.

_HOOK_

XEM THÊM:

2.yếu tố quyết định thứ tự

Bổ sung trẻ vị thành niên M ij yếu tố Một ijđược gọi là định thức thu được từ cái đã cho bằng cách xóa tôi-dòng thứ và j-cột thứ. Phép cộng đại số MỘT ij yếu tố Một ijđược gọi là phần tử phụ của phần tử này, lấy với dấu (–1) tôi + j, I E. MỘT ij = (–1) tôi + j M ij .

Ví dụ: chúng ta hãy tìm phần tử phụ và phần bổ sung đại số của các phần tử Một 23 và Một 31 yếu tố quyết định

Chúng tôi nhận được

Sử dụng khái niệm phần bù đại số, chúng ta có thể xây dựng định lý mở rộng định thứcn-thứ tự theo hàng hoặc cột.

Định lý 2.1. Định thức ma trậnMỘTbằng tổng các tích của tất cả các phần tử của một số hàng (hoặc cột) và phần bổ sung đại số của chúng:

(2.6)

Định lý này làm nền tảng cho một trong những phương pháp chính để tính toán các định thức, được gọi là. phương pháp giảm đơn hàng. Do sự mở rộng của yếu tố quyết định n thứ tự trong bất kỳ hàng hoặc cột nào, chúng ta nhận được n định thức ( n–1) -thứ. Để có ít yếu tố quyết định như vậy, nên chọn hàng hoặc cột có nhiều số 0 nhất. Trong thực tế, công thức khai triển cho định thức thường được viết là:

những, cái đó. các phép cộng đại số được viết rõ ràng theo các điều kiện của trẻ vị thành niên.

Các ví dụ 2.4. Tính toán các yếu tố quyết định bằng cách mở rộng chúng trước tiên trong bất kỳ hàng hoặc cột nào. Thông thường trong những trường hợp như vậy, hãy chọn cột hoặc hàng có nhiều số 0 nhất. Hàng hoặc cột đã chọn sẽ được đánh dấu bằng mũi tên.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

1. ^ Cramer, Gabriel (1750). “Introduction à l’Analyse des lignes Courbes algébriques” (bằng tiếng Pháp). Geneva: Europeana. tr. 656–659. Truy cập ngày 18 tháng 5 năm 2012.
2. ^ Kosinski, A. A. (2001). “Cramer’s Rule is due to Cramer”. Mathematics Magazine. 74: 310–312. doi:10.2307/2691101.
3. ^ MacLaurin, Colin (1748). A Treatise of Algebra, in Three Parts.
4. ^ Boyer, Carl B. (1968). A History of Mathematics (ấn bản 2). Wiley. tr. 431.
5. ^ Katz, Victor (2004). A History of Mathematics . Pearson Education. tr. 378–379.
6. ^ Hedman, Bruce A. (1999). “An Earlier Date for “Cramer’s Rule”” (PDF). Historia Mathematica. 26 (4): 365–368. doi:10.1006/hmat.1999.2247.
7. ^ Robinson, Stephen M. (1970). “A Short Proof of Cramer’s Rule”. Mathematics Magazine. 43: 94–95.

Ví dụ về giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer

Hãy để hệ thống

Dựa trên định lý Cramer

………….,

ở đâu –

định danh hệ thống. Các định thức còn lại thu được bằng cách thay thế cột có hệ số của biến tương ứng (chưa biết) bằng các phần tử tự do:

Ví dụ 2

Do đó, hệ thống là xác định. Để tìm giải pháp của nó, chúng tôi tính toán các yếu tố quyết định

Theo công thức của Cramer, chúng tôi tìm thấy:

Vì vậy, (1; 0; -1) là nghiệm duy nhất của hệ.

Để kiểm tra nghiệm của hệ phương trình 3 X 3 và 4 X 4, bạn có thể sử dụng máy tính trực tuyến, phương pháp giải Cramer.

Nếu không có biến nào trong hệ phương trình tuyến tính trong một hoặc nhiều phương trình thì trong định thức các phần tử tương ứng với chúng bằng không! Đây là ví dụ tiếp theo.

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer:

Giải pháp. Chúng tôi tìm thấy yếu tố quyết định của hệ thống:

Xem xét kỹ hệ phương trình và định thức của hệ và lặp lại câu trả lời cho câu hỏi trong trường hợp nào một hoặc nhiều phần tử của định thức bằng không. Vì vậy, định thức không bằng không, do đó, hệ thống là xác định. Để tìm lời giải của nó, chúng tôi tính toán các định thức cho các ẩn số

Theo công thức của Cramer, chúng tôi tìm thấy:

Vậy, nghiệm của hệ là (2; -1; 1).

Để kiểm tra nghiệm của hệ phương trình 3 X 3 và 4 X 4, bạn có thể sử dụng máy tính trực tuyến, phương pháp giải Cramer.